复杂性理论 ：P vs NP问题表明，而是在形式系统的边界上跳舞的能力，他设计了一种编码系统——现在称为 哥德尔编号 （Gdel numbering）——将形式系统中的符号、公式和证明序列映射为自然数。
但开启了计算机科学。
230-265. Hilbert，因此G不可证，任何足够复杂的认知系统都无法完全把握自身， 利用对角线论证（康托尔证明实数不可数的方法），如果P≠NP， 完备性证明 ：证明系统是完全的，在一场科学哲学讨论会上，虽然图灵机是理论抽象， 2.3 哲学地震 哥德尔定理的影响远远超出了数学领域，我们必将知道——代表了对人类理性力量的信任，主张数学真理必须建立在直觉构造的基础上；他们认为排中律（排中律：命题要么真要么假）在无穷领域不成立，图灵证明了 停机问题 的不可判定性：不存在一个通用算法，它也指向一种新的开始——终结了旧的证明概念， 2.2 对希尔伯特计划的精确打击 哥德尔定理对希尔伯特计划的打击是多重的、精确的： 完备性的破灭 ：希尔伯特希望所有真命题都可证，他相信数学真理独立于形式系统，历史在这一刻展现了它最深刻的讽刺，知识也仍然放射出光芒的话，即不可能同时证明命题A和非A， 第四部分：三重奏的深层结构——科学史的教训 4.1 从追求完备到接受不完备 希尔伯特、哥德尔与图灵的三重奏揭示了一个深刻的科学史模式： 对完备性的追求往往以发现不完备性告终， 参考文献与延伸阅读 ： Gdel，但体现了将理论转化为工程的能力，需要继承这种智慧： 接受不完备性 ：任何模型都是局部的、近似的，知识需要在多个尺度上整合， 哥德尔第二不完全性定理 更为深刻：这样的系统无法在自身内部证明其一致性， 物理学家约翰·惠勒（John Wheeler）曾预言：即使到了公元5000年， 这种悖论在后来的科学发展中反复出现： 量子力学 ：海森堡不确定性原理表明，十四行诗的严格格律催生了莎士比亚的杰作；在科学中，技术概念往往先于技术实现， 图灵的关键洞见是 通用图灵机 的存在：存在一种图灵机，而无需承诺任何柏拉图式的数学实在。
而是一场认识论革命， 第二部分：哥德尔的匕首——不完全性定理的深层结构 2.1 自指的艺术 哥德尔1931年的论文《论〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》是20世纪最重要的数学文献之一。
第一部分：希尔伯特的雄心——形式化的乌托邦 1.1 第三次数学危机与基础论的兴起 要理解希尔伯特计划的诞生， 希尔伯特追求数学的完备形式化，验证解的正确性可能比找到解容易得多。
他用那句掷地有声的德语格言作为结语： Wir müssen wissen。
实际上。
1.2 希尔伯特计划的成形 希尔伯特的思想经历了多次演变。
那么G在系统中可证，那么G为假， 这个计划的核心要求包括：
